标签归档:施密特分解

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复合空间的施密特分解是一个比较不直观的过程, 虽然证明起来并不复杂, 但初学者可能会想不通怎么高维度的空间能用低于维度数的基矢分解, 这是本文讨论的一个重点.

初学者可能还会问到: 为什么看证明过程好像随便求和就能自动产生正交的矢量呢? 难道施密特分解这个操作没有运算量吗? 这也是本文讨论的一个重点.

如果教材用的是西安电子科技大学出版的那本量子信息的话可能会对证明过程产生如下疑问:

这又是本文讨论的一个重点, 前面我会给出一个更直观一些的证明, 然后在最后会附上该教科书书上的证明方式, 并非照搬而是会在修改一些用词同时通过引用块的形式在中间解答这些疑惑. 当然没看过这本书的就不用管这部分了.

定理的证明如果用矩阵的奇异值分解定理的话会简单许多, 可以自行了解这里暂不做介绍.

将一个复合系统分成两个子空间, 则复合系统的态矢可以用这两个子空间的基矢展开.

复合系统分成两个子系统, 记分别为空间的任意一组正交归一基. 则空间中任意纯态可以表示为. 下面不妨设空间的维度比较小.

将一个复合系统分成两个子空间, 则复合系统的态矢可以用这两个子空间的基矢展开.

而这本身就是归一的了, 从前面的推到来看就是说的共同本征值是, 这个很容易验证.

在这个具体例子中这一切是显然的,系统当然一定处于态;至于系统, 纵使你空间有一万维我们也能把你任意处于的那个态作为你密度算符的本征态. 在这里是维的情况, 那厄米算符的本征矢应该是完备的啊, 起码三个吧?这是不难理解的, 密度算符也是算符, 而算符的基矢是任意选取的, 这里只是选取了特别合适的一组正交基矢使得密度算符表达为:.

那为什么前面发展到了而这个例子却得到了一个实数呢? 我们来一步步分析看看:

所以真正奇妙的点是, 为何两个系统的密度算符拥有同样的本征值. 以及为何把系统进行本征普分解之后系统也跟着被分解了.

复合系统分成两个子系统, 记分别为空间的任意一组正交归一基. 则空间中任意纯态可以表示为. 下面不妨设空间的维度比较小.

四大力学、固体物理级别的学科都是必须提前自学的. 而这之中量子力学又有他的特殊性: 『1.将来无论干嘛都要用量子力学, 可以说是物理学根基.』 『2.有无穷个表象, 好几个绘景, 一大堆的等价表述. 』 『3.教学有许多切入点, 很难全都顾及到.』 『4.是经典物理向量子物理的一个桥梁, 概念焕然一新.』 所以要学好量子力学, 一个捷径就是开课前自学. 但量子力学有许多(并不复杂但)全新的观点需要接受. 所以就催生了这个面向初学者的专栏.

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我在学习施密特分解时还是不小心绕了些弯的【谢罪】,现在用简单的话解释一下什么时施密特分解。

用了同一个指标 $i$ 去表示. 对于如上表示的任意态总是可以用两个指标表示的:但是,经过处理,也可以用一个指标去表示:. 只需要令即可。至于用同一个指标i是否意味着这两个子空间的维数必须相同,其实可以不必。

分解的态在各自自空间中是正交归一的。 第一点中使指标统一的做法并不能够使得在B空间中的态是正交的。因此,施密特分解的重点就在于:

我们能不能对上述系数矩阵做特征值分解EigenDeposition呢?经计算,上述矩阵的特征值是:8/5 和 6/5. 因此我们可以得到:

显然,我们得到了类似施密特分解的形式。可见,对于系数矩阵的特征值分解可以成为施密特分解的方法之一。但是,它很有局限性:首先,能够特征值的前提是该系数矩阵是正定阵,即所有的特征值必须大于0,否则得不到上述表达式。其次,这样的分解出的两个自空间的正交基具有相同的形式,比如在A空间是对应的B空间的矢量也是.

如果是形如最开始的例子,. A空间和B空间的基并不具有相同的形式,那么我们应该如何做呢?显然,如果我们仍然对系数矩阵做施密特分解,该系数矩阵不符合“正定”的要求。因此,我们可以扩展到奇异值分解(SingularValueDeposition, SVD)

而对于奇异值分解,我们有:. 它的左矢和右矢不同,正好是我们想要的。其中,右矢是U的本征矢,左矢是V的本征矢。而且U和V都是酉的,而是半正定的对角阵。而且对于奇异值分解而言,我们不需要它是正定的,而且,不需要A是一个方阵。若A是的,那么U是的方阵,V是的方阵,是的对角阵。

显然,可以对进行特征值分解,它是一个的方阵,它的本征值是它的本征矢组成了U矩阵。同理,我们可以计算:

显然,对进行特征值分解,它是一个的方阵,它的本征值也还是。显然,我们可以得到,它最多有n个本征值。它的本征矢组成了V矩阵。因此,我们就得到了奇异值分解的表达式。

系数矩阵,有一个特征值是0,因此无法做特征值分解,但是可以做奇异值分解。奇异值分别是和. 我们可以得到:

正好是我们最开始介绍的样子。值得注意的是,我们通过计算得到的本征值需要开方后才是A的奇异值。然后才能带入后面的式子。

施密特分解只对2bit的态可以做,对于3bit甚至更高都没有施密特分解的形式

但是,施密特分解对于2bit中各个比特的维度没有限制,也就是说1个bit可以去很多的值,子空间的维度任意。而且,两个bit或是两个子空间可以维度不一致。(因为奇异值分解可以对非方阵进行作用)

但是当多个比特是,可以把该态分为两个部分。这两个部分(Bipartite)也有施密特分解的形式。如:. 但是值得注意的是,分开的态不一定是直积态。也因此,不存在多个比特的施密特分解。

虽然,施密特分解是对于系数矩阵做的,
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如果我们对上述两个矩阵进行特征值分解,我们会得到n个,而且A和B的约化密度矩阵具有相同的本征值。我们令对应的本征矢为:和。我们可以计算得到:恰好是Schimit分解的形式。同时,我们也可以利用这个结论证明多个bit不存在施密特分解形式,即证明:的本征值不同。这样的例子是很好构造的。

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施密特正交化(Schmidt orthogonalization)是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,这种方法称为施密特正交化。

线性无关向量组未必是正交向量组,但正交向量组又是重要的,因此现在就有一个问题:能否从一个线性无关向量组

呢?回答是肯定的,通过施密特正交化方法就可以实现。下面就来介绍这个方法,由于把一个正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,所以,上述问题的关键是如何由一个线性无关向量组来构造出一个正交向量组,我们以3个向量组成的线性无关组为例来说明这个方法。设向量组

上述所说明的利用线性无关向量组,构造出一个标准正交向量组的方法,就是施密特正交化方法。

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我们介绍线性代数知识的时候,稍微扩展一点,就能演变成一个新的角度。博文来自:老马的程序人生

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我知道怎么用施密特正交化来从一组线性无关的向量组来求出一组正交向量组,单不知那到底有什么用处,谁能告诉我,施密特正交化到底能用来做什么,多谢了,分不够说一声,全给你都行论坛

线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了,数学重在理解!给定一组基α1,α2,…,αn\alpha_1,\alpha_2,…,\alpha…博文来自:newworld123made的博客

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